ÁLGEBRA

Los contenidos de esta materia son los siguientes:   Álgebra y cálculo matricial, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, diagonalización, espacio vectorial euclídeo, formas cuadráticas,  geometría analítica. Cónicas y cuádricas.

TEMARIO

TEMA 1: MATRICES, SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y DETERMINANTES

1.1. Álgebra de matrices: operaciones con matrices, traspuesta de una matriz, tipos especiales de matrices, matrices invertibles, traza de una matriz cuadrada y sus propiedades.
1.2. Sistemas de ecuaciones lineales: definiciones básicas y solución por el método de Gauss (y Gauss-Jordan).
1.3. Matrices elementales. Rango de una matriz. Cálculo de la matriz inversa.
1.4. Determinante de un matriz cuadrada: definición, propiedades y  evaluación.
 
TEMA 2: ESPACIOS VECTORIALES

2.1. Definición y ejemplos.
2.2. Subespacios vectoriales y subespacio engendrado por un conjunto o sistema de vectores. Sistema generador.
2.3. Independencia lineal.
2.4. Bases y dimensión.
2.5. Combinación de Subespacios.
2.6. Subvariedades afines de un espacio vectorial y sus ecuaciones.

TEMA 3: LOS CUATRO SUBESPACIOS FUNDAMENTALES DE UNA MATRIZ

3.1. Los cuatro subespacios fundamentales de una matriz.
3.2. Sistemas de ecuaciones lineales y espacios vectoriales.

TEMA 4: APLICACIONES LINEALES

4.1 Definición y ejemplos de aplicaciones lineales entre espacios vectoriales.  Núcleo e imagen de una aplicación lineal.
4.2. Matriz asociada a una aplicación lineal respecto de una pareja de bases.
4.3. Cambio de base. Matrices equivalentes y semejantes.

TEMA 5: DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS Y MATRICES

5.1. Planteamiento del problema. Valores propios y vectores propios.
5.2. Polinomio característico. Multiplicidad algebraica y geométrica de un valor propio.
5.3. Caracterización de los endomorfismos y matrices diagonalizables.

TEMA 6: ESPACIOS VECTORIALES  EUCLÍDEOS

6.1. Formas bilineales: conceptos básicos, expresión matricial, cambio de base, ortogonalidad
6.2 Producto escalar euclídeo. Normas y ángulos.
6.3. Ortogonalidad. Bases ortonormales.
6.4. El proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt.
6.5. Complemento ortogonal. Descomposición ortogonal y proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio vectorial.
6.6. Diagonalización por semejanza ortogonal de matrices simétricas reales.
6.7. El teorema de descomposición ortogonal para los cuatro subespacios fundamentales de una matriz.
6.8. Transformaciones ortogonales y matrices ortogonales.
6.9. Solución de mínimos cuadrados de un sistema lineal. Matriz de proyección ortogonal. Aplicaciones.

TEMA 7: FORMAS CUADRÁTICAS REALES

7.1. Definición. Matriz asociada a una forma cuadrática respecto de una base.
7.2. Clasificación de formas cuadráticas reales. Reducción de formas cuadráticas. Bases ortogonales. Diagonalización efectiva por congruencia. Ley de inercia de Sylvester. Expresión canónica de una forma cuadrática. Formas cuadráticas equivalentes.
7.3. Cálculo efectivo de invariantes.

TEMA 8: ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

8.1. Ecuaciones reducidas de cónicas y cuádricas. Introducción a la clasificación afín de cónicas y cuádricas.